| Yacas |
Ejemplo |
Comentarios
¿Qué estamos calculando? |
| Funciones
elementales |
Sin(x),Cos(x), Tan(x), Cot(x), Sec(x), Csc(x)
ArcSin(x), ArcCos(x), ArcTan(x) |
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas inversas |
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Sinh(x),Cosh(x),Tanh(x),Coth(x),Sech(x)
ArcSinh(x), ArcCosh(x), ArcTanh(x) |
Funciones hiperbólicas
Funciones hiperbólicas inversas |
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Exp(x), Ln(x), Sqrt(x), Erf(x), Sign(x) |
Función exponencial, logaritmo (neperiano), raíz cuadrada,
error, signo de un número |
| Constantes matemáticas |
Pi, Infinity |
p e infinito |
| Funciones especiales |
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Función Gamma de Euler
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Gamma(1.3)
N(Gamma(1.3),5) |
Calculamos la función Gamma de Euler de 1.3 con 5 decimales |
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Función Zeta de Riemann
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N(Zeta(1.3),5) |
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Números de Bernoulli
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Bernoulli(4) |
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Polinomios de Bernoulli
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Bernoulli(4,x) |
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Polinomios de Legendre
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OrthoP(3, x) |
Polinomio de Legendre de tercer orden: P3 (x) = (5 x3
- 3x) / 2 |
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Polinomios de Chebyshev
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OrthoT(3, x) |
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| Operaciones
elementales |
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Suma de números o fracciones
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1+3
1/2+1/3
N(%) ó N(1/2+1/3)
N(1/2+1/3,3) |
.
Da el resultado en forma de fracción: 5/6
Resultado numérico: ajustaría el resultado a los decimales
por defecto
Ajusta el resultado a tres decimales (pero ATENCIÓN, NO REDONDEA,
sino que se queda con los tres primeros decimales) |
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N(2/3,3) |
Da el resultado de la fracción 2/3 con tres decimales sin redondear.
Esto esto: da como resultado 0,666 (en vez de 0,667 que sería el
resultado con tres decimales) |
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Raiz cuadrada
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Sqrt(8) |
Si queremos el valor numérico, N(Sqrt(8)) |
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Descomponer un número en factores
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Factor(50) |
Descomponemos el número 50 en producto de factores |
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Valor numérico con cierto número de decimales
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N(Sin(2),4)
N(Sqrt(2),5) |
Seno de 2 radianes, con cuatro decimales
Raíz cuadrada de 2 con cinco decimales. |
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Cociente de una división de dos números
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Div(10,3) |
Determina el cociente (entero de dos números). En este caso
obtendríamos 3 |
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Resto de una división de dos números
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Mod(10,3) |
Determina el resto de una división de dos números. En
este caso obtendríamos 1 |
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Máximo comun divisor
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Gcd (2,5) |
Máximo común divisor del 2 y el 5 |
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Mínimo común múltiplo
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Lcm (2,5) |
Mínimo común múltiplo del 2 y el 5 |
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Precisión de los cálculos
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GetPrecision()
Precision(4) |
Señala el número de decimales con que trabaja. Por defecto,
son 10.
Mostraría 4 decimales en los resultados |
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Simplificar una expresión
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Simplify((x+1)*(x-1))
Simplify((x+y)^2-(x-y)^2) |
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Desarrollar una expresión
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Expand(1-x)^3)
Expand((1+x-y)^2,x) |
Desarrolla el cubo: (1 - x)3
Desarrolla (en x) la expresión (1 + x - y)2 |
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Dar un valor a una variable
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a:= 3
Set (a,3) |
Damos a "a" el valor 3. Con dos puntos : e igual = |
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Borrar el contenido de una variable
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Clear (a)
Clear (a,b) |
Borramos el contenido de la variable "a"
Borramos el contenido de las variables "a" y "b" |
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Definir una función
y evaluarla en un punto
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f(x):=x^2-5*x+1
f(5) |
Definimos la función f(x) = x2 - 5x + 1
... y la evaluamos en el punto x=5 |
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f(x,y):=3*x-2*y^2
f(2,3) |
Definimos la función de dos variables f (x,y) = 3 x - 2 y2
... y la evaluamos en el punto (2,3) |
| Combinatoria |
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Factorial de un número
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4! |
Calculamos el factorial de 4. 4 ! = 4·3·2·1 |
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Doble factorial
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4!! |
4 !! = 4·2 (vamos de 2 en 2, en vez de 1 en 1) |
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Combinaciones
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Bin(6,2) |
Calcula el número combinatorio 6 sobre 2, esto es: (6·5)
/ 2! |
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Permutaciones
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Permutations({1,2,3}) |
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| Resolución
de ecuaciones |
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Solve(3*x-5==x+1,x) |
Resolviendo la ecuación: 3 x - 5 = x + 1 |
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Solve(x/(1+x) == a, x) |
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Solve(x^2-5*x+6 == 0, x) |
Resolución de una ecuación de segundo grado. |
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Número de raíces reales de un polinomio
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NumRealRoots(x^2-5*x+6) |
Nos da el número de raíces reales de la ecuación
polinómica x2-5x+6=0 |
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Resolución de sistemas
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Solve({x+y==2,x-y==0},{x,y}) |
Resolviendo el sistema:
x + y = 2
x - y = 0 |
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Solve({x+y+z==1,x-y-z==2,x-y+z==3},{x,y,z}) |
Resolviendo el sistema:
x + y + z = 1
x - y - z = 2
x - y + z = 3 |
| Método de Newton |
Newton(Exp(x)-3*x,x,1,0.01) |
Resolviendo la ecuación ex - 3 x = 0, por el método
de Newton, partiendo del punto inicial xo = 1, con una precisión
de 0,01 |
| Operaciones
con números complejos |
Unidad imaginaria: I (mayúscula) |
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1+2*I
ó Complex(1,2) |
Un número complejo |
|
Abs (2+3*I) |
Módulo del número complejo 2 + 3i |
|
Arg (2+3*I)
N(Arg (2+3*I))
N(Arg (2+3*I),3) |
Argumento (en radianes) del número complejo 2 + 3i
... con los decimales por defecto
... con tres decimales |
|
Re(2+3*I) |
Parte real del número complejo 2 + 3 i |
|
Im(2+3*I) |
Parte imaginaria del número complejo 2 + 3 i |
|
Conjugate(2+3*I) |
Coomplejo conjugado del número 2 + 3 i |
|
(3+4*I)+(1-3*I)
ó Complex(3,4)+Complex(1,-3) |
Suma de dos números complejos |
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(3+4*I)*(1-3*I) |
Producto de dos números complejos |
|
(3+4*I)/(1-3*I) |
Cociente de dos números complejos |
| |
(1+2*I)^2 |
(1 + 2 i)2 |
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Ln(3+4*I) |
Logaritmo neperiano de un número complejo |
| Operaciones
con vectores |
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Módulo de un vector
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Norm({3,4})
o bien: a:={3,4}
Norm(a) |
Módulo de un vector (32 + 42)1/2 |
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Normalizar un vector
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Normalize ({3,4}) |
Normalizar un vector. Esto es, dividir el vecto rentre su módulo |
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Suma de vectores
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{1,2,3}+{4,5,6}
o bien: a:={1,2,3};
b:={4,5,6};
a+b |
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Multiplicación por un escalar
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3*{1,2,3}
o bien: a:={1,2,3}
3*a |
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Producto escalar
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Dot({1,2},{4,5})
InProduct({1,2},{4,5})
o bien: a:={1,2}
b:={4,5}
Dot(a,b)
o bien: InProduct(a,b)
o bien: a.b |
Producto escalar de los vectores (1,2) y (4,5)
(1,2)·(4,5)=1·4+2·5=14
Para calcular el producto escalar de dos vectores podemos emplear el
punto . ó Dot ó InProduct |
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Producto vectorial
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CrossProduct({1,2,3},{4,2,5})
ó a:={1,2,3}
b:={4,2,5}
a X b |
Para calcular el producto vectorial de dos vectores podemos emplearx
o CrossProduct |
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Base ortogonal
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OrthogonalBasis({{1,1,0},{2,0,1},{2,2,1}}) |
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Base ortonormada
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OrthonormalBasis({{1,0,1,0},{1,1,1,0},{0,1,0,1}}) |
Además divide los vectores entre su módulo |
| Operaciones
con matrices |
a:={{1,2},{3,4}}
b:={{2,-1},{1,3}} |
Vamos a definir las matrices a y b |
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Determinante de una matriz (cuadrada)
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Determinant(a)
Determinant({{1,2},{3,4}}) |
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|
Traza de una matriz
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Trace({{1,2},{3,4}})
o bien: a:={{1,2},{3,4}}
Trace(a) |
La traza es la suma de los elementos de la diagonal principal |
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Matriz traspuesta
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Transpose (a) |
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Matriz inversa
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Inverse (a) |
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Producto de matrices
|
a.b
o bien Dot(a,b)
Dot({{1,2,3},{4,5,6}},{{1,2},{3,4},{5,6}})
PrettyForm(%) |
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Menor complementario
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A:={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}
Minor(A,2,3) |
Menor complementario del elemento a2,3 de la matriz A |
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Polinomio característico
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a:={{4,2},{-1,1}}
CharacteristicEquation(a,x)
Expand(%,x) |
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Valores propios
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a:={{4,2},{-1,1}}
EigenValues(a) |
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Vectores propios
|
a:={{4,2},{-1,1}
vp:=EigenValues(a)
EigenVectors(a,vp) |
|
|
Potencia de matrices
|
a:={{4,2},{-1,1}}
MatrixPower(a,2)
sería equivalente a : a.a ; a*a ; a^2 |
Calcula la potencia n-ésima de una matriz cuadrada. En este
caso el cuadrado de la matriz a |
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¿Es una matriz simétrica?
|
A:={{4,2},{-1,1}}
IsSymmetric(A) |
Devuelve true si la matriz es simétrica (la matriz coincide
con su traspuesta) o false si no lo es. |
|
¿Es una matriz anti-simétrica?
|
A:={{4,2},{-1,1}}
IsSkewSymmetric(A) |
Devuelve true si la matriz es anti-simétrica (la matriz
coincide con su traspuesta cambiada de signo) o false si no lo es. |
|
¿Es una matriz ortogonal?
|
A:={{4,2},{-1,1}}
IsOrthogonal(A) |
Devuelve true si la matriz es ortogonal (cuando la matriz inversa
coincide con la traspuesta) o false si no lo es. |
|
¿Es una matriz idempotente?
|
A:={{4,2},{-1,1}}
IsIdempotent(A) |
Devuelve true si la matriz es idempotente (A2 = A)
o false si no lo es. |
| Resolución
de sistemas |
A:={{1,1,1},{2,-1,3},{3,2,-1}}
b:={6,9,4}
MatrixSolve(A,b)
SolveMatrix(A,b) |
Resolvemos el sistema:
x + y + z = 6
2x -y + 3z = 9
3x + 2y - z = 4 |
|
Factorizacion LU
Método de Doolittle
|
A:={{1,1,1},{2,-1,3},{3,2,-1}}
LU(A) |
Factorización LU de la matriz A por el método de Doolittle
(la matriz L posee 1´s en la diagonal principal) |
|
Factorizacion LU
Método de Cholesky
|
A:={{1,1,1},{2,-1,3},{3,2,-1}}
Cholesky(A)
>Out: no la calcula pues la matriz A no es definida positiva |
A debe ser simétrica y definida positiva |
| Límites |
Limit(x,Infinity) (x^2-1)/(x^2+1) |
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Límite por la izquierda
|
Limit (x,0,Left) 1/x |
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|
Límite por la derecha
|
Limit (x,0,Right) 1/x |
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| Derivadas |
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Primera derivada
|
Deriv(x) 1/(1+x^2)
ó
D(x) 1/(1+x^2) |
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|
Segunda derivada
|
D(x,2) x^2+3*x-1
ó bien: D(x) D(x) x^2+3*x-1 |
 |
|
Derivadas parciales
|
z:=x^2+y^3
D(x) z
D(y) z
o bien
D(x) x^2+y^3 |
 |
|
Matriz jacobiana
|
JacobianMatrix({x^2+y^2,x^3+y^4},{x,y})
JacobianMatrix({x^2+y^2,x^3+y^4,3*z^2},{x,y,z}) |
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Matriz wronsquiana
|
WronskianMatrix({Sin(x),Cos(x)}, x)
WronskianMatrix({1,x,x^2}, x) |
|
|
Wronsquiano
|
Determinant (WronskianMatrix({1,x,x^2},x)) |
 |
|
Matriz hessiana
|
HessianMatrix(x^2+y^2, {x,y}) |
 |
|
Gradiente de un escalar
|
D({x,y,z}) Sin(x*y*z) |
Calculamos el gradiente de una función escalar, en este caso
de Sin(x y z)
 |
|
Divergencia de un vector
|
Diverge({x*y,y*z,x*z},{x,y,z}) |
Calculamos la divergencia de un vector, en este caso del (x y,y z,x
z).
¡¡ Sin embargo NO CALCULA LA SUMA, lo deja indicado !!
 |
|
Rotacional de un vector
|
Curl({x*y,y*z,x*z},{x,y,z}) |
Calculamos el rotacional de un vector, en este caso del (x y,y z,x
z)
 |
| Desarrollo en serie de Taylor |
Taylor(x,0,5) Sin(x) |
Desarrollo en serie de Taylor de grado 5 (hasta la quinta derivada)
de la función sin (x) en el origen
 |
|
Taylor(x,0,5) Exp(-x)
PrettyForm(%) |
Desarrollo en serie de Taylor en torno al origen de e-x
Presenta el resultado de forma "bonita" |
|
Taylor(x,1,4) x^4-3*x^3+2*x^2+x+1 |
Desarrollo en serie del polinomio en torno al punto x = 1
O lo que es lo mismo: reescribir el polinomio
en potencias de (x-1) |
| Integrales |
Integrate(x) Sin(x) |
 |
|
Integral definida
|
Integrate(x,0,1) x^2 |
 |
|
Integrate(x,a,b) Cos(x) |
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| Ecuaciones
diferenciales |
|
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Resolución de ecuaciones
|
OdeSolve(y'+y==0) |
Resolvemos la ecuación diferencial y' + y = 0 |
|
OdeSolve(y'==2*y) |
Resolvemos la ecuación diferencial y' = 2 y |
|
OdeSolve(y''+y==0) |
Resolvemos la ecuación diferencial y'' + y = 0 |
|
Comprobación de soluciones
|
OdeTest(y''-5*y'+6*y,Exp(2*x)+Exp(3*x)) |
Comprueba que e2x+e3x es solución de la
ecuación diferencial y''-5y'+6y=0 |
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Orden de una ecuación diferencial
|
OdeOrder(y''-5*y'+6*y==0) |
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| Transformada
de Laplace |
LaplaceTransform(t,s,t^2) |
Transformada de Laplace (en función de s) de la función
t2
 |
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| Sumatorios
y "productorios" |
|
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Sumatorio
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Sum(k,1,n,k^2) |
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Productorio
|
Factorize(k,1,n,k^2) |
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| Polinomio
interpolador |
Polinomio interpolador de Lagrange que se ajusta a unos puntos |
|
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f(x):=LagrangeInterpolant({2,5},{4,8},x)
f(3)
Simplify(f(x))
LagrangeInterpolant({2,5},{4,8},x) |
Los valores en la primera llave {} son los de la "x"
los de la segunda llave {} los de la "y"
Polinomio interpolador que pasa por los puntos (2,4) y (5,8) |
|
f(x):=LagrangeInterpolant({0,1,3},{-2,6,40},x)
Simplify(f(x)) |
Polinomio interpolador que pasa por los puntos (0,-2), (1,6) y (3,40) |
| Importación/
Exportación |
|
|
|
Guardar un resultado en un fichero
|
ToFile("datos.txt") [PrettyForm(D(x) x/(1+x^2));] |
Exporta al fichero datos.txt el resultado de la derivada de la función
x/(1+x2) |
|
exportando a LaTeX
|
TeXForm(D(x) x/(1+x^2)) |
Exporta al formato Latex el resultado de la derivada de la función
x/(1+x2) |
Referencias en la versión
en castellano de Wikipedia
Referencias en la versión
en inglés de Wikipedia:
